Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения

Опубликовал: pvi777 в категорию Материалы по общей теории статистики и отраслевой статистике - Дата добавления: 17.02.2019, 00:43


Книга содержит восемь глав. В главе 1 изложены необходимые сведения из линейной алгебры, в главе 2 – из теории вероятностей. Статистическая часть начинается с главы 3, где описываются некоторые стандартные распределения математической статистики, вводится нормальный закон и изучаются распределения статистик, играющих фундаментальную роль в методе наименьших квадратов. Глава 4 посвящена статистическим выводам, базирующимся на линейных моделях для математических ожиданий. Особое внимание уделяется вычислительной стороне метода наименьших квадратов. Рассматриваются также различные задачи доверительного оценивания линейных параметрических функций. В главе 5 рассматриваются общие (не только линейные) методы оценивания параметров. Здесь доказана теорема Рао-Блекуэла-Колмогорова и рассмотрены связанные с ней вопросы. Подробно излагается теория информационного количества Фишера. Рассмотрены общие методы оценивания при различных предположениях о паре (параметр, наблюдаемая переменная), а также асимптотическая теория оценивания. Подробно изучены оценки максимального правдоподобия. Основная часть главы 4 отведена применению критерия хи-квадрат к различным задачам.

В главе 7 излагаются критерий Неймана-Пирсона, построение локально наиболее мощных критериев, конструкция подобных тестов для семейств с нетривиальными достаточными статистиками, различные меры асимптотической эффективности критериев, общий метод построения доверительных множеств, схема последовательного анализа. В главе 8 рассматриваются: распределение Уишарта, критерии различных гипотез о параметрах многомерного нормального закона, дискриминантный анализ. Изложение иллюстрируется примерами преимущественно биометрического характера.

В конце каждой главы приведено большое количество задач и упражнений, а также обширная библиография.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
Предисловие к русскому переводу

ГЛАВА 1. АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ

1а. Векторные пространства
1a.1. Определение векторных пространств и подпространтств. 1a.2. Базис векторного пространтства. 1a.3. Линейные уравнения. 1a.4. Векторное пространство со скалярным произведением.
Дополнения и задачи
1b. Теория матриц и определителей
1b.1. Операции над матрицами. 1b.2. Элементарные матрицы и приведение матриц к диагональной форме. 1b.3. Определители. 1b.4. Преобразования. 1b.5. Обобщённая обратная матрица. 1b.6. Векторные пространства, порожденные матрицами.
Дополнения и задачи
1c. Квадратичные формы
1c.1. Классификация и преобразование квадратичных форм. 1c.2. Корни характеристических уравнений. 1c.3. Приведение матриц к каноническому виду.
1d. Выпуклые множества в векторных пространствах
1d.1. Определения. 1d.2. Некоторые основные теоремы.
1e. Неравенства
1e.1. Неравенство Коши-Шварца (К-Ш). 1e.2. Неравенство Гёльдера. 1e.3. Неравенство Адамара. 1e.4. Неравенства для моментов. 1e.5. Выпуклые функции и неравенство Иенсена. 1e.6. Неравенства теории информации. 1e.7. Формула Стирлинга.
1f. Экстремумы квадратичных форм
1f.1. Общие теоремы. 1f.2. Теоремы о собственных числах и векторах.
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ

2a. Исчисление вероятностей
2a.1. Пространство элементарных событий. 2a.2. Класс подмножеств (событий). 2a.3. Вероятность как функция множества. 2a.4. Борелевская алгебра (σ-алгебра) и продолжение вероятностной меры. 2a.5. Понятие случайной величины и функции распределения. 2а.6. Многомерная случайная величина. 2a.7 Условная вероятность и статистическая независимость. 2a.8. Условное распределение случайной величины.
2b. Математическое ожидание и моменты случайных величин
2b.1. Свойства математического ожидания. 2b.2. Моменты. 2b.З. Условное ожидание. 2b.4. Характеристическая функция (х.ф.). 2b.5. Теоремы обращения. 2b.6. Многомерные моменты.
2с. Предельные теоремы
2с.1. Последовательность случайных величин. 2с.2. Сходимость последовательности случайных величин. 2с.З. Закон больших чисел. 2с.4. Сходимость последовательности функций распределения. 2с.5. Центральные предельные теоремы.
2d. Семейство вероятностных мер и статистические задачи
2d.1. Семейство вероятностных мер. 2d.2. Понятие достаточной статистики. 2d.3. Характеризация достаточности.
Приложение 2А. Интегралы Стилтьеса и Лебега
Приложение 2В. Некоторые основные теоремы теории меры
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ

3а. Одномерные модели
3а.1. Нормальное распределение. 3а.2. Гамма-распределение. 3а.3. Бета-распределение. 3а.4. Распределение Коши. 3а.5. Распределение Стьюдента. 3а.6. Распределения, описывающие равновесные состояния в статистической механике.
3b. Выборочные распределения
3b.1. Определения и результаты. 3b.2. Сумма квадратов нормальных величин. 3b.3. Совместное распределение выборочного среднего и дисперсии. 3b.4. Распределение квадратичных форм. 3b.5. Три основные теоремы теории наименьших квадратов.
3с. Симметричное нормальное распределение
3c.1. Определение. 3с.2. Выборочные распределения.
3d. Двумерное нормальное распределение
3d.l. Общие свойства. 3d.2. Выборочные распределения.
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

4а. Теория наименьших квадратов (линейное оценивание)
4а.1. Структура наблюдений (схема Гаусса-Маркова). 4а,2. Нормальные уравнения и оценки наименьших квадратов (о.н.к.). 4а.3. g-обращение и решение нормальных уравнений. 4а.4. Дисперсии и ковариации о.н.к. 4а.5. Оценивание σ2. 4а.6. Другие подходы к методу наименьших квадратов (геометрическое решение). 4а.7. Явные выражения в случае коррелированных наблюдений. 4а.8. Некоторые вычислительные аспекты метода наименьших квадратов. 4а.9. Оценивание по методу наименьших квадратов при ограничениях на параметры. 4a.10. Совместное оценивание параметрических функций. 4a.11. Метод наименьших квадратов в ситуации, когда параметры суть случайные величины. 4a.12. Выбор матрицы плана.
4b. Проверка гипотез и интервальное оценивание
4b.1. Единственная параметрическая функция. 4b.2. Случай нескольких параметрических функций. 4b.3. Схема с ограничениями на параметры.
4с. Задачи одной выборки
4с.1. Статистика критерия. 4с.2. Асимметрия правого и левого бедер (попарное сравнение).
4d. Классификация данных по одному признаку
4d.1. Статистика критерия. 4d.2. Пример.
4е. Классификация данных по двум признакам
4e.1. Случай одного наблюдения в каждой ячейке. 4e.2. Случай нескольких – но одинакового числа – наблюдений в каждой ячейке. 4e.3. Неодинаковые числа наблюдений в ячейках.
4f. Общая модель данных с двумя признаками и компоненты дисперсии
4f.1. Общая модель. 4f.2. Модель компонент дисперсии. 4f.3.Рассмотрение общей модели.
4g. Теория и применение статистической регрессии
4g.1. Понятие регрессии (основы теории). 4g.2. Измерение добавочной зависимости. 4g.3. Прогнозирование размеров черепа (практический пример). 4g.4. Проверка гипотезы о равенстве функций регрессии. 4g.5. Проверка совпадения функции регрессии с заданной.
4h. Общая проблема наименьших квадратов с двумя группами параметров
4h.1. Сопутствующие переменные. 4h.2. Анализ ковариаций. 4h.3. Иллюстративный пример.
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 5. КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ

5a. Несмещенное оценивание с минимальной дисперсией
5а.1. Критерий минимума дисперсии. 5а.2. Некоторые основные результаты об оценках с минимальной дисперсией. 5а.3. Случай нескольких параметров. 5а.4. Информационное количество Фишера.
5b. Общие методы оценивания
5b.1. Общая постановка задачи. 5b.2. Случай полностью известной ф.р. пары (0,X). 5b.З. Закон одинаковой неопределенности. 5b.4. Эмпирический байесовский подход к оцениванию. 5b.5. Фидуциальная вероятность. 5b.6. Принцип минимакса.
5c. Критерии оценивания в больших выборках
5c.1. Состоятельность. 5c.2. Эффективность.
5d. Некоторые методы оценивания в больших выборках
5d.1. Метод моментов. 5d.2. Метод минимума хи-квадрат и родственные с ним. 5d.3. Метод максимального правдоподобия.
5е. Оценивание для полиномиального распределения
5е.1. Непараметрический случай. 5е.2. Параметрический случай.
5f. Оценивание параметров в общем случае
5f.1. Предположения и обозначения. 5f.2. Свойства оценок м.п.
5g. Метод накопления для нахождения оценок параметров
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК

6а. Некоторые основные результаты
6а.1. Асимптотическое распределение квадратичных функций частот. 6а.2. Некоторые теоремы сходимости.
6b. χ2-критерии для многомерного распределения
6b.1. Критерий отклонения от простой гипотезы. 6b.2. χ2 как критерий согласия. b.3. Критерий для проверки отклонения в отдельной группе. 6b.4. Критерий принадлежности параметров подмножеству значений. 6b.5. Некоторые примеры.
6c. Критерий, относящийся к независимым выборкам из мультиномиальных распределений
6с.1. Общие результаты. 6с.2. Критерии однородности параллельных выборок. 6с.3. Пример.
6d. Таблицы сопряженности признаков
6d.l. Вероятность наблюденных конфигураций и критерии при больших выборках. 6d.2. Критерии независимости в таблице сопряженности признаков. 6d.3. Критерии независимости при малых выборках.
6е. Некоторые общие классы критериев для больших выборок
6е.1. Обозначения и основные результаты. 6е.2. Критерий для проверки простой гипотезы. 6е.3. Критерии сложной гипотезы.
6f. Порядковые статистики
6f.1. Эмпирическая функция распределения. 6f.2. Асимптотическое распределение выборочных квантилей.
6g. Преобразования статистик
6g.1. Общая формула. 6g.2. Извлечение квадратного корня из пуассоновской случайной величины. 6g.3. Преобразование квадратного корня из биномиальной частоты с помощью функции arcsin x. 6g.4. Преобразование коэффициента корреляции при помощи функции arcth x.
6h. Стандартные ошибки моментов и связанных с ними статистик
6h.1. Дисперсии и ковариации начальных моментов. 6h.2. Асимптотические дисперсии и ковариации выборочных центральных моментов. 6h.3. Точные выражения для дисперсий и ковариаций центральных выборочных моментов.
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА

7а. Испытание статистических гипотез
7а.1. Постановка задачи. 7а.2. Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона и ее обобщения. 7а.3. Простая гипотеза Н0 против простой альтернативы Н. 7а.4. Локально наиболее мощные критерии. 7а.5. Испытание сложной гипотезы. 7а.6. Проблема Беренса-Фишера. 7а.7. Асимптотическая эффективность критериев.
7b. Доверительные интервалы
7b.1. Общая постановка задачи. 7b.2. Общий метод построения доверительного множества. 7b.3. Доверительные множества для функций от параметра.
7с. Последовательный анализ
7с.1. Последовательный критерий отношения вероятностей Вальда. 7с.2. Некоторые свойства п.к.о.в. 7с.3. Эффективность последовательного критерия. 7с.4. Пример экономичности последовательной процедуры. 7с.5. Основное тождество последовательного анализа. 7с.6. Последовательное оценивание.
7d. Проблема идентификации
7d.1. Постановка задачи. 7d.2. Рандомизированные и нерандомизированные решающие правила. 7d.3. Байесовское решение. 7d.4. Полные классы решающих правил. 7d.5. Минимаксное правило.
7е. Непараметрические выводы
7е.1. Понятие устойчивости. 7е.2. Непараметрические методы. 7е.3. Некоторые непараметрические критерии. 7е.4. Принцип рандомизации.
Дополнения и задачи
Литература

ГЛАВА 8. МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ

8а. Многомерное нормальное распределение
8а.1. Определение. 8а.2. Свойства нормального распределения. 8а.3. Некоторые характеристические свойства распределения Nр. 8а.4. Функция плотности многомерного нормального распределения. 8а.5. Оценивание параметров. 8а.6. Np как распределение с максимальной энтропией.
8b. Распределение Уишарта
8b.1. Определение и обозначение. 8b.2. Некоторые результаты относительно распределения Уишарта.
8с. Дисперсионный анализ
8с.1. Процедура Гаусса-Маркова для многократных измерений. 8с.2. Оценивание параметров. 8с.3. Критерии для проверки линейных гипотез. Дисперсионный анализ. 8с.4. Критерий для добавочной информации. 8с.5. Распределение статистики А. 8с.6. Критерии размерности (структурное отношение).
8d. Некоторые приложения многомерных критериев
8d.1. Критерий значимости для средних значений. 8d.2. Критерий для данной структуры средних значений. 8d.3. Критерии для разности между средними значениями двух генеральных совокупностей. 8d.4. Критерий различия в средних значениях между несколькими генеральными совокупностями. 8d.5. Проблема Барнарда, касающаяся вековых колебаний в отличительных признаках человеческого черепа.
8е. Дискриминантный анализ (идентификация)
8е.1. Дискриминантные информанты. 8е.2. Дискриминантный анализ в исследовательской работе.
8f. Связь между множествами случайных величин
8f.1. Канонические корреляции. 8f.2. Свойства канонических случайных величин. 8f.3. Эффективное число общих факторов. 8f.4. Факторный анализ.
8g. Ортонормальный базис случайной величины
8g.1. Базис Грама-Шмидта. 8g.2. Анализ главных компонент.
Дополнения и задачи
Литература

Предметный указатель
Список сокращений, наиболее часто встречающихся в книге


Скачать:


  • Теги:

Комментарии:


Оставить комментарий

Вход на сайт

Информация о проекте

Настоящий сайт представляет собой информационный портал, содержащий материалы по проблеме бизнес-аналитики, раскрывающие особенности использования современных подходов и методов анализа и обработки данных, что в условиях современной информатизации общества представляется весьма актуальным при исследовании различных проблем социально-экономического характера.
Настоящий портал содержит материалы познавательного, учебно-методического и научно-исследовательского характера, демонстрирующие современное состояние развития проблемы бизнес-аналитики, проблемы анализа и обработки данных. Особое внимание на страницах сайта уделено методическому и аналитическому инструментарию рассматриваемых проблем. Наряду с теоретическими и аналитическими материалами сайт содержит пакеты программных продуктов, представляющих собой прикладной инструментарий, способный автоматизировать научно-практические исследования в области бизнес-аналитики и бизнес-статистики.

Контакты